Aplicación de Matemáticas

Distribución binomial

Calcula probabilidades binomiales exactas y compara cuándo una aproximación normal representa razonablemente la distribución.

Criterio práctico de aproximaciónAproximación normal válida

Se cumplen np ≥ 5 y nq ≥ 5.

np
48,0
nq
72,0

Distribución y región del evento

Las barras violetas pertenecen al evento; la curva muestra la aproximación continua.

Binomial exactaNormalEvento
Distribución binomial y aproximación normalLa gráfica se está preparando en el navegador.Preparando distribución…
Probabilidad binomial exactaExacta
—

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Aproximación normalCon corrección
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Diferencia entre métodos—
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Sobre esta aplicación

Distribución binomial: cuándo usarla y cómo interpretar el resultado

Antes de calcular conviene comprobar que el experimento realmente es binomial. Después se puede distinguir la probabilidad exacta de una aproximación normal y medir el error de aproximación.

Conceptos esenciales

Respuesta rápida

La distribución binomial modela el número X de éxitos en n ensayos independientes con dos resultados posibles y probabilidad de éxito p constante. Se escribe X ~ B(n,p), con media μ = np, varianza σ² = np(1 − p) y probabilidad P(X = k) = C(n,k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Condiciones binomiales

Hay un número fijo n de ensayos, cada ensayo tiene dos resultados de interés, los ensayos se consideran independientes y la probabilidad p de éxito permanece constante.

Probabilidad exacta

Si X cuenta éxitos, P(X = k) = C(n,k)pᵏqⁿ⁻ᵏ con q = 1 − p. Para sucesos como X ≥ k o a ≤ X ≤ b se suman las probabilidades de los valores incluidos.

Media y dispersión

Para X ~ B(n,p): μ = np, σ² = npq y σ = √(npq). La media sitúa el centro esperado y la desviación típica mide la dispersión alrededor de ese centro.

Aproximación normal

Cuando np y nq son suficientemente grandes, la forma binomial puede aproximarse mediante una normal con la misma media y desviación. El criterio np ≥ 5 y nq ≥ 5 es una regla práctica, no una garantía universal.

Corrección de continuidad

Al pasar de una variable discreta a una continua se desplazan los límites en 0,5 para representar barras completas, por ejemplo X ≥ 50 se aproxima desde 49,5.

Cómo usar la aplicación

Un recorrido breve para pasar del dato al resultado sin perder la interpretación.

  1. Define n y p

    Fija el número de ensayos y la probabilidad de éxito, comprobando que el modelo binomial sea apropiado.

  2. Selecciona el evento

    Calcula una probabilidad puntual, acumulada o de intervalo y observa qué barras pertenecen al evento.

  3. Compara con la normal

    Activa la aproximación solo cuando np y n(1−p) sean suficientemente grandes y aplica corrección de continuidad cuando corresponda.

Preguntas frecuentes

Preguntas frecuentes sobre distribución binomial

¿Qué es una distribución binomial?

Es una distribución discreta para el número de éxitos en n ensayos independientes, con dos resultados y probabilidad de éxito p constante.

¿Qué significa X ~ B(n,p)?

Significa que X sigue una binomial con n ensayos y probabilidad de éxito p en cada ensayo.

¿Cuál es la fórmula de P(X = k)?

P(X = k) = C(n,k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

¿Cuál es la media de una binomial?

μ = np.

¿Cuál es la varianza y la desviación típica?

La varianza es σ² = np(1 − p) y la desviación típica es σ = √[np(1 − p)].

¿Cuándo puede aproximarse por una normal?

Una regla práctica habitual es exigir que np y n(1 − p) sean ambos al menos aproximadamente 5; cuanto más alejados estén de valores pequeños, mejor suele funcionar la aproximación.

¿Qué es la corrección de continuidad?

Es el desplazamiento de 0,5 en los límites al aproximar una variable discreta mediante una normal continua.